In diesem zweiten Teil der EInführung geht es darum, wie man sich beim Schätzen von Wahrscheinlichkeiten täuschen kann. In diesem Beitrag geht es um das bekannte Ziegenproblem, dass vor allem für Fans von Spielshows wie ,,Geh aufs Ganze” interessant sein dürfte…
Im ersten Teil der Einführung in die Welt der Wahrscheinlichkeiten habe ich gezeigt, wie man die Wahrscheinlichkeit von einem Sechserpasch mit drei Würfeln in einem Wurf berechnen kann und welche Gewinnchance ein Lottospieler hat.Wenn Sie eine Münze werfen, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass 3x in Folge Kopf oben liegt? Wenn Sie den ersten Teil dieser Einführung gelesen haben, sollten Sie die Lösung wissen. Die Wahrscheinlichkeit betägt 1/2*1/2*1/2 = 1/8.
Manchmal kann uns unsere intuitive Wahrnehmung von Wahrscheinlichkeiten auch täuschen. Ein hervorragendes Beispiel hierfür ist das bekannte ,,Ziegenproblem”. Dazu stelle man sich folgende Situation vor: In einer Fernsehshow kann der Kandidat zwischen Tor 1, Tor 2 und Tor 3 wählen. Hinter einem Tor verbirgt sich der Hauptgewinn, während der Kandidat bei Wahl eines der beiden anderen Tore leer ausgeht (=die Ziege wählt).
Schaubild: Beispielhafte Verteilung der Nieten auf die Tore.
Die Show verläuft nun wie folgt: Der Kandidat wählt vorläufig ein Tor aus. Danach deckt der Showmaster eines der beiden anderen Tore, nämlich eines, das eine Niete enthält, auf. In der Folge kann der Teilnehmer der Show sich entscheiden, ob er bei der Wahl seines Tores bleiben möchte, oder ob er den Inhalt des übriggebliebenen Tores haben möchte. Wie sollte sich der Kandidat entscheiden?
Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass nach dem Aufdecken eines Tores hinter beiden Toren mit der gleichen Wahrscheinlichkeit der Gewinn ist, d.h. bei Wahl jedes Tores hat der Spieler zu 50% Erfolg. Das ist jedoch falsch!
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit nehmen wir an, der Kandidat hat Tor 1 gewählt. Zu Anfang beträgt die WS, dass dahinter der Gewinn verborgen ist, exakt 1/3. Der Gewinn befindet sich also zu 2/3 hinter einem anderen Tor. Nun wird ein anderes, nämlich ein Nietentor aufgedeckt, z.B. Tor 3. In welchem Fall lohnt sich der Wechsel auf Tor 2 nicht? Antwort: Wenn der Gewinn tatsächlich hinter Tor 1 verborgen liegt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür bleibt bei 1/3, bei Wechsel jedoch kann sich der Kandidat eine Gewinnchance von 2/3 sichern! Grund: Dadurch, dass ein Nietentor aufgedeckt wird, steigt die Gewinnwahrscheinlichkeit des anderen nicht ausgewählten Tores.
Um es noch einfacher zu erklären: Wenn der Kandidat Tor 1 auswählt, dann befindet sich dahinter in einem von drei Fällen der Hauptgewinn. In zwei von drei Fällen jedoch ist der Hauptgewinn entweder unter Tor 2 oder Tor 3. Bei Aufdecken des Nieten-Tores hat der Quizmaster nur in 1/3 der Fälle zwei Nieten zum Aufdecken zur Auswahl, nämlich dann, wenn der Kandidat das richtige Tor gewählt hat. In zwei von drei Fällen ist jedoch das ,,Nietentor” durch das Hauptgewinn-Tor bereits festgelegt. Dadurch kann die Gewinnwahrscheinlichkeit auf eben diese 2/3 bei einem Torwechsel gesteigert werden.