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Eine Einführung in die Welt der Wahrscheinlichkeiten, Teil I

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln einen 6er-Pasch zu würfeln? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto 6 aus 49 sechs Richtige zu treffen? Diese und ähnliche Fragen sollte jeder Mensch beantworten können. Hier möchte ich eine kleine Einführung in die Welt der Kombinatorik und Statistik geben.

In Deutschland spielen bei jeder staatlichen Ziehung mehrere Millionen Menschen Lotto. Außerdem gibt es eine große Anzahl an Menschen, die in ihrer Freizeit Spiele jeglicher Art spielen. Unter Fußballern und Kneipenbesuchern ist etwa ,,Knobeln“, auch ,,Schocken“ genannt, ein sehr beliebtes Trinkspiel, während in Familien und Freundeskreisen oft Spiele wie ,,Die Siedler von Catan“, ,,Risiko“ oder ,,Kniffel“ gespielt werden. All diese Spiele haben gemeinsam, dass die möglichen Spielereignisse mit Wahrscheinlichkeiten ,,berechnet“ werden können. So kann man etwa als Kniffelspieler berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen Kniffel, eine Straße oder einen Pasch mit mehreren Würfen zu erhalten. Des Weiteren haben Einkaufsmärkte wie Rewe oder Franchise-Ketten wie Subway ab und an Werbeangebote, dass man mit einem 6er-Pasch mit 3 Würfeln in einem Wurf seinen Einkauf nicht bezahlen muss.

Bild: Bei Würfelspielen ist das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten meist sehr wichtig

Fangen wir mit der Berechnung des 6er-Pasches mit 3 Würfeln in einem Wurf an: Wenn man mit nur einem Würfel eine 6 Würfeln müsste, wäre die Wahrscheinlichkeit 1 zu 6, oder 16,67%. Beim Würfeln mit 2 Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit auf einen 6er-Pasch in einem Wurf 1/6*1/6= 1/36. Hier haben wir es mit zwei unabhängigen Wahrscheinlichkeiten zu tun, d.h. die Augenzahl des einen Würfels beeinflusst nicht die Augenzahl des Anderen. Im Falle mehrerer unabhängiger Ereignisse, welche die Augenzahlen der beiden Würfel darstellen, multipliziert man die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse.

Dies führt uns zum Ergebnis der Aufgabe: Bei 3 Würfeln muss man dementsprechend folgende Berechnung anstellen: 1/6*1/6*1/6=1/216. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die 6 anzeigen, liegt also bei prozentual ca. 0,46%. Der Supermarkt kann kalkulieren, dass er nur in jedem 216ten Fall dem Kunden seinen Einkauf schenkt.

Gewinnchancen beim Lotto

Die Berechnung der Gewinnchancen beim Lotto 6aus49 ist ungleich schwerer. Die Superzahl ist hierbei zunächst einmal außer acht gelassen. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten gestaltet sich für den Anfänger als zu schwierig, weshalb an dieser Stelle keine Formeln, sondern nur die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten angegeben werden (gerundet)

WS(6 Richtige)= 1 zu 13.983.816= 0,000007%     WS(5 Richtige)= 0,0018%                              WS(4 Richtige)= 0,09%                                          WS(3Richtige)= 1,77%

Hier wird deutlich, wie verschwindend gering die Chance auf 6-Richtige beim Lotto ist. Die Wahrscheinlichkeit von 6 Richtigen und Superzahl beträgt eine weitere Kommastelle weniger, also 0,0000007%, denn diese ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit von 6 Richtigen, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit 1/10 auf die Superzahl, die eine Zahl von 0-9 annimmt.  Selbst die Wahrscheinlichkeit auf 3 Richtige beträgt nur 1,77%. Übrigens wird nur die Hälfte der Lotto-Einsatze an die Spieler ausgeschüttet. Dennoch hat man die Möglichkeit, den Erwartungswert des eigenen Gewinns, der die durchschnittliche Rückzahlung bei einer extrem großen Anzahl an Spielen angibt, zu beeinflussen. Man gewinnt weniger  Geld, wenn man Lottozahlen auswählt, die andere Leute auch auswählen. Sprich: Wenn sie großes Glück haben und etwa 5 Richtige realisieren, dann gewinnen sie üblicherweise wenig Geld, wenn sie etwa ihre Zahlen aus ihrem Geburtsdatum gebildet haben oder nach einem bestimmten Muster auf dem Lottoschein Zahlen angekreuzt haben. Der Grund liegt darin, dass diese Zahlen  viele Leute wählen und folglich muss man den Gewinn teilen. Daher ist es ratsam, Zahlen zu wählen, die keinen Musten oder Geburtsdaten folgen.

Im zweiten Teil dieser Einführung geht es darum, wie man sich beim Schätzen von Wahrscheinlichkeiten irren kann.

 

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Autor: Alltagsoekonom

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2 Kommentare

  1. Ich glaube, die Paschberechnung ist falsch – ist ein Pasch nicht imer ein Pärchen? Die wahrscheinlichkeit bei zwei Würfeln liegt logischerweise bei 1/36 – wie ich beim Siedler schon öfter unangenehm feststellen durfte. Allerdings müsste sich die wahrscheinlichkeit erhöhen, wenn ein dritter Würfel hinzukommt.

  2. Wie ich gerade nochmal kontrolliert hat, kann ein Pasch auch aus mehreren Würfeln als zwei bestehen. Also hier ist der Pasch gemeint, der aus drei Sechsen in einem Wurf besteht. Dabei muss die Wahrscheinlichkeit 1/36, die du für zwei Würfel richtig beschrieben hast, noch mit 1/6 multipliziert werden. Das ergibt dann 1/216 oder jedes 216te Mal.

    Es ist nicht die Wahrscheinlichkeit gemeint, bei 3 Würfeln mindestens 2 gleiche Zahlen zu erhalten. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt:

    1- (WS von drei unterschiedlichen Zahlen)

    Zur WS von drei unterschiedlichen Zahlen: Die Augenzahl, die der erste Würfel annimmt, ist egal. Der zweite Wurf muss eine andere Augenzahl als der erste annehmen. Die Wahrscheinlichkeit ist 5/6. Der dritte Wurf muss eine andere Zahl anzeigen, als die beiden ersten, unterschiedlichen Würfe. Die WS ist 4/6 oder 2/3.

    Also ist die WS, dass man drei unterschiedliche Zahlen erhältst: 1 * 5/6 * 4/6 = 20/36 = 5/9

    Die WS auf mindestens zwei Gleiche Zahlen beträgt also:

    1 – 5/9 = 4/9, also schon fast 50%!

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